Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV)

Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV), wie wird es berechnet

Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie und der Algebra. Es spielt eine entscheidende Rolle beim Lösen von Bruchrechnungen, bei der Vereinfachung von algebraischen Ausdrücken und in vielen anderen Bereichen der Mathematik und Technik. In diesem umfassenden Guide erfahren Sie, wie man das KGV effizient berechnet und in praktischen Anwendungen nutzt. Das KGV ist Thema der Gymnasiumaufnahmeprüfung.

Grundlagen des KGV

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Beispielsweise ist das KGV von 4 und 5 gleich 20, da 20 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 4 als auch durch 5 ohne Rest teilbar ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV), die Berechnung

Die Berechnung des KGV kann auf verschiedene Weise erfolgen, wobei die Primfaktorzerlegung die gebräuchlichsten Methoden ist.

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung besteht darin, jede Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Das KGV zweier Zahlen ist dann das Produkt aller Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zahlen vorkommen, wobei jeder Faktor in der höchsten vorkommenden Potenz genommen wird. Primfaktoren in erster Potenz nicht vergessen!

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) von 20 und 75 mittels Primfaktorzerlegung zu berechnen, betrachten wir zuerst die Primfaktorzerlegungen beider Zahlen:

  • $$20=2^2 \times 5$$
  • $$75=3 \times 5^2$$

Das KGV wird gefunden, indem man das Produkt aus den höchsten Potenzen aller Primfaktoren nimmt, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen:

  1. Von 2 ist die höchste Potenz in den Zahlen $$2^2$$.
  2. 3 kommt nur in 75 vor, also nehmen wir $$3^1$$.
  3. Von 5 ist die höchste Potenz $$5^2$$, da dies in 75 vorkommt und höher ist als die Potenz von 5 in 20.

Das KGV von 20 und 75 berechnet sich also als:


$$K G V(20,75)=2^2 \times 3^1 \times 5^2=4 \times 3 \times 25=300$$

Ein praktisches beispiel

Zwei ineinandergreifende Zahnräder mit unterschiedlicher Zahnanzahl sind miteinander verbunden, wobei das eine 12 Zähne und das andere 18 Zähne aufweist.

a) Wie viele vollständige Umdrehungen müssen beide Zahnräder ausführen, bevor sie wieder ihre ursprüngliche Ausrichtung erreichen?

b) Identifiziere zwei andere Kombinationen von Zahnrädern, bei denen sie eine identische Anzahl an Umdrehungen benötigen, um zur Ausgangsposition zurückzukehren.

Um die erste Frage zu beantworten, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Zähneanzahl der beiden Zahnräder finden. Das KGV gibt uns die Anzahl der Drehungen, die jedes Zahnrad vollführen muss, um wieder in der Ausgangsposition zu sein. In diesem Fall suchen wir das KGV von 12 und 18.

Lösung Aufgabe a

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) von 12 und 18 mit der Primfaktorzerlegung zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

  1. Primfaktorzerlegung beider Zahlen:
    • Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren.
  2. Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KGV):
    • Nehmen Sie jeden Primfaktor in der höchsten Potenz, die in den Zerlegungen jeder Zahl vorkommt.
    • Multiplizieren Sie diese Primfaktoren, um das KGV zu erhalten.

Beginnen wir mit der Primfaktorzerlegung von 12 und 18:

$$
\begin{aligned}
12 & =2^2 \cdot 3 \end{aligned}
$$

$$\begin{aligned}
18 & =2 \cdot 3^2
\end{aligned}
$$

Jetzt identifizieren wir die höchsten Potenzen der Primfaktoren, die in den Zerlegungen vorkommen:

  • Der Primfaktor $$\mathbf{2}$$ kommt in der höchsten Potenz von $$2^2$$ (aus der Zerlegung von 12) vor. Der Primfaktor 3 kommt in der höchsten Potenz von $$3^2$$ (aus der Zerlegung von 18) vor.

Das KGV ist das Produkt dieser höchsten Potenzen der Primfaktoren.

$$K G V=2^2 \cdot 3^2=4 \cdot 9=36$$

Daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18 gleich 36.

36 sind die Anzahl gedrehte Zähne. Diese Zahl jeweils durch die Anzahl Zähne jedes Rades ergibt die Anzahl Drehungen.

Also Rad 1: 36/12= 3 und Rad 2: 36/18=2.

Lösung Aufgabe b

Um diese Aufgabe zulösen skalieren wir die Zwei Räder um einen beliebigen faktor aufwärts. Wären z.b die Anzahl Zähne 3x soviel in jeden Rad:

36 und 54.

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Teodoro Morcone

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